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Rethinking Preferential Attachment Scheme: Degree centrality v/s closeness centrality

Durante la última década, estudios empíricos han sugerido que la red libre de escala es la propiedad más visible en las grandes redes. Una red libre de escala o scale-free network en términos simples es una red cuya distribución de grado se aleja de la distribución normal haciendo que algunos actores de la red tengan mayor probabilidad de asociación que otros, en otras palabras, se da el caso que muchos tengan una baja probabilidad de crear lazos y por supuesto una alta probabilidad concentrada en un grupo reducido.

Para estas ser simuladas, el mecanismo mas utilizado ha sido el de conexión por grado, dónde se asume como regla de conexión que los actores intentan asociarse o formar links con otros que tienen un alto grado de centralidad.

Durante décadas prevaleció la idea de que un actor con muchos lazos es un gran canal de información, por ende un protagonista en la red. Granovetter con su teoría de la fortaleza del lazo débil (1973) cuestiona esta idea, hace que la teoría de redes sociales se replantee este hecho y muestra al mundo que no solo las relaciones directas son importantes. En efecto, las relaciones indirectas pueden ser aun mas importantes que las anteriores, por ejemplo si tenemos dos grupos con alta cohesión interna, aquel individuo que este débilmente asociado con el grupo vecino, estará expuesto a mayor información y oportunidades como bien lo señala Burt (2000). Como vemos, en nuestros días el peso de una actor en la red puede estar dado tanto por su centralidad de grado como por su cercanía o accesibilidad.

Este paper intenta mostrar por medio de la simulación de tres tipos de redes, en que medida el grado y la cercanía están o no correlacionados. Estas redes son la aleatoria, la red preferente por grado (DPN) y por ultimo la que utiliza la cercanía como regla de asociación (CPN).

Para acercar un poco mas al lector, es importante señalar que la cercanía de un actor esta medida  por su centralidad de cercanía o mas conocida por su termino en ingles closeness centrality. Esta viene dada por la función inversa de la sumatoria de las distancias geodésicas del actor i a los N-1 actores, por distancia geodésica entendemos a la distancia mas corta entre dos nodos.

Habiéndose explicado lo anterior, pasamos a analizar la red aleatoria, la cual en este estudio fue simulada de la manera clásica, con esto me refiero a que se conectaron dos nodos en forma arbitraria con una misma probabilidad p luego de haberse fijado el numero total de actores N. El primer experimento que se realiza es dejar fijo el p, y se analiza el impacto del aumento de N luego de simulada la red 50 veces. El resultado es una relación positiva entre el aumento de tamaño de la red y la cercanía normalizada por los N-1 actores. Luego se simula otra red aleatoria pero esta vez aumentando el p, dejando como resultado una menor distancia promedio entre nodos a medida que esta probabilidad aumenta. Por ultimo se analiza la correlación entre grado y cercanía mediante el coeficiente de Pearson, donde se destaca que cuando la probabilidad p excede el valor critico de 0.025 utilizado en este experimento, esta correlación es alta. Es por esto que se dice que en redes poco densas la centralidad de grado y de cercanía están poco correlacionadas.

A continuación veremos características de la red en la cual los actores prefieren asociarse con mayor probabilidad con los actores que poseen mayor grado de centralidad. En cuanto a su distribución de probabilidades, esta tiene una cola más pesada y fluctuante que la de la red aleatoria. Pese a tener grados similares (con mismo N y cantidad de links), podemos notar que la DPN es mas eficiente (menor distancia promedio entre nodos) que la red aleatoria. Otra característica destacable es que no tiene una correlación alta entre grado y cercanía.

De aquí surge la interrogante, ¿que pasaría si un actor prefiere asociarse con otro no por el grado de centralidad sino por el grado de cercanía? En ese caso nos sumergimos en el mundo de la centralidad de cercanía o CPN.

Se diferencia esta de la DPN aparte de su regla se asociación, por su correlación entre grado y cercanía, la cual es mayor. Este coeficiente de correlación es de 0.67 para la CPN y de 0.47 para la DPN.

Por otra parte encontramos un resultado paradójico e interesante. Si analizamos las distancias promedio entre estas dos tipos de redes, notamos que en la CPN esta es mayor (6.43 contra 4.46 en la DPN). Esto ultimo se da por el hecho de que en la CPN, los actores realizan esfuerzos individuales por acercarse a otros, lo cual no se refleja en la eficiencia global de la red, la CPN es sensible a la posición estructural de los demás actores en la red y de igual manera a los links que estos hayan formado.

Como hemos visto la centralidad de grado es solo una de las posibles medidas que se pueden utilizar al momento de analizar estas redes libres de escala, esto lo podemos ver dados los resultados del estudio, donde se demuestra que los nodos con alta centralidad de grado no son necesariamente nodos con alta cercanía en una red que utiliza la preferencia por el grado como regla de asociación entre otras cosas, como la correlación entre estos que nos lleva al resultado paradójico antes enunciado. Es muy importante para la comprensión de redes complejas, el analizar como las distintas unidades de medida están correlacionadas, además de comprender como distintas reglas de asociación forman distintas estructuras de red.

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